モンテカルロシミュレーションで円周率を求める
2007年4月29日
![矢は円の内側?](/jeans/skins/media/1/20070429-Monaco.png)
モンテカルロ法で円周率を求めるアルゴリズムはいたって簡単。-1 から 1 までの乱数を、x, y として用意し、図のように点(x,y)と座標の原点までの距離が1以下であれば円の内側だとみなされる。ピタゴラスの定理より、単に
x*x + y*y
の値が1より大きいか小さいかを求めればよい。これを何回も繰り返せば、円の内側に点が入る確率が求まる。その確率を p とすると、外側の正方形の面積が4であるから、円周率は次のように得られる。
π = 4 * p
これを、C でシミュレーションするには、以下の様な簡単なコードでよい。
#include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <conio.h> float sub(); void main (){ for(unsigned int i=0;!kbhit();i++){ float pai=sub(); printf( "%d %f\n", i, pai); } } float sub(){ static float num,inside; float x,y,pai; float max=RAND_MAX+1; // Decide the position randomly x=((float)rand()+(float)rand()/(float)max)/(float)max; y=((float)rand()+(float)rand()/(float)max)/(float)max; // Determine if inside the circle num++; if (x*x+y*y<1) inside++; // Calculate the pai pai=4*inside/num; return pai; }
プログラム簡略化のため、0≦x≦1, 0≦y≦1 としている。10万回ほど計算すれば、3.14 が求められる。ちなみに、このアルゴリズムでは 3.141 まで求められたが、3.1416 は出せなかった。float の許容範囲を超えているようである。
浮動小数点を、double で使用すると…
#include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <conio.h> double sub(); void main (){ for(unsigned int i=0;!kbhit();i+=10000){ double pai=sub(); printf( "%d %f\n", i, pai); } } double sub(){ static double num,inside; double x,y,pai; double max=RAND_MAX+1; for(int i=0;i<10000;i++){ // Decide the position randomly x=((double)rand()+(double)rand()/(double)max)/(double)max; y=((double)rand()+(double)rand()/(double)max)/(double)max; // Determine if inside the circle num++; if (x*x+y*y<1) inside++; } // Calculate the pai pai=4*inside/num; return pai; }
この場合は、5億回ほど計算すると、3.1416 まで求めることが出来た。この辺りが、一つの目標であろう。
Cでさらに計算を続けると、40億回の計算で、3.14159 まで出せた。これより下の桁を出すには、乱数の精度を上げる必要があるかもしれない。
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